當數學走進財務學

云云諾貝爾經濟獎得獎者當中，有幾位數學家的蹤影，事跡被拍成電影的約翰納殊是最為人所知的一個。除了他以外還有其他開創性的人物，例如投資組合理論的創始人馬科維茲(Harry Markowitz)，還有創立期權定價的布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)，布萊克因為早?的關係故未能得獎。我們今天講的主要是期權定價。

期權定價有甚麼特別﹖其實期權一向都存在，期權與期貨的最大分別是在於責任方面。買樓花是一種期貨，當到期時，買家賣家無論怎麼不願意都要成交，否則就要賠償，故買家會期望樓價上升，賣家則期望樓價下跌，這當然是理論上的分別。而期權的成交責任就完全推給賣方，買家在期權合約簽定時需繳付一筆名為期權金(Premium)的「訂金」，至於成交日買家履行或不履行合約，全是買家決定，沒有強迫性。

問題就是這樣，這筆期權金是怎樣釐定呢﹖買家要考慮市價、時間的長度、當時的利率、成交物品的回報率、市場波幅還有行使價。

以前的商人可能憑直覺，直到布來克和斯科爾斯兩位教授發展出畢蘇方程式定出期權的應有價格，期權市場活躍起來，商人有了對沖工具，投機者可以大炒特炒，可是我們平常都是用方程式的結果來推測，方程式的始除了學者也沒有人過問，裡面有甚麼秘密呢﹖

學者們把期權所符合的要求嘗試用數學公式都寫下來，像V(S,T) = max(S-E,0),(V為期權價，S為現價,E為行使價,T為時間)，這就是期權價一定高於零與期權價等於現價減行使價的結合。把數學公式都寫出來，最後得出一條公式及一列條件，數學家們又發現這個公式牽涉概率與微積分兩個風馬牛不相及的概念，不知如何是好。後來，日本數學家伊滕清發展了伊滕微積分系統，把涉及概率的隨機變數與微積分系統變得相容，得出現在的畢蘇方程式。

問題又來了，畢蘇方程式不是一條容易解的方程，如果用電腦解出方程，可能會費時失事。這個時候，數學家們看到這方程與物理學的擴散方程其實是差別不大，只要把方程化為擴散方程就可以解出所要的答案，他們也借用物理學的三百年解擴散方程經驗，使這個問題變得簡單。

當然，從事金融的人，都會知道這個方程最吊詭的地方就是波幅率，這又涉及一個哲學問題，是這篇文章的範圍以外……

Stan / www.descobridor.com